分析 (1)①求導(dǎo)數(shù),利用f(x)的圖象在x=1處的切線恰好也是g(x)圖象的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
②由x+lnx=mx,得m=1+lnxx,設(shè)t(x)=1+lnxx,x∈[1e,+∞),則問(wèn)題等價(jià)于y=m與t(x)的圖象在[1e,+∞)上有唯一交點(diǎn),即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(2)設(shè)F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=a(x+lnx)-x2,F(xiàn)(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,F(xiàn)′(x)=ax+a−2x22≤0恒成立,即a≤2x2x+1在[1,2]上恒成立,即可證明結(jié)論.
解答 (1)解:①f′(x)=a(1+1x),∴x=1,f′(x)=2a,切點(diǎn)為(1,a),
∴切線方程為y-a=2a(x-1),即y=2ax-a,
聯(lián)立{y=2ax−ay=x2,消去y,可得x2-2ax+a=0,△=4a2-4a=0,∴a=1;
②由x+lnx=mx,得m=1+lnxx,
設(shè)t(x)=1+lnxx,x∈[1e,+∞),則問(wèn)題等價(jià)于y=m與t(x)的圖象在[1e,+∞)上有唯一交點(diǎn),
∵t′(x)=1−lnxx2,∴(1e,e),t′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,(e,+∞),t′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,
∵t(1e)=1-e,t(e)=1+1e,且x∈(e,+∞)時(shí),t(x)>1,
∴m∈[1-e]∪{1+1e};
證明:(2)不妨設(shè)1≤x1<x2≤2,則f(x1)<f(x2),g(x1)<g(x2),
∴|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|可化為f(x2)-f(x1)<g(x2)-g(x1)
∴f(x2)-g(x2)<f(x1)-g(x1)
設(shè)F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=a(x+lnx)-x2,∴F(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,
∴F′(x)=ax+a−2x22≤0恒成立,即a≤2x2x+1在[1,2]上恒成立,
∵2x2x+1=2(1x+12)2−14≥1,∴a≤1,
從而,當(dāng)0<a<1時(shí),命題成立.
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查多歲的幾何意義,考查恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.
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A. | √22 | B. | 3√24 | C. | √2 | D. | 5√24 |
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