Question

【題目】若圓上一點(diǎn)A（2，3）關(guān)于直線x+2y＝0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，且圓與直線x﹣y+1＝0相交的弦長(zhǎng)為2則圓的方程是_____．

Answer 1

【答案】(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.

【解析】

設(shè)出圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由圓上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)還在圓上得到圓心在這條直線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，代入到x+2y＝0中得到①；把A的坐標(biāo)代入圓的方程得到②；由圓與直線x﹣y+1＝0相交的弦長(zhǎng)為2，利用垂徑定理得到弦的一半，圓的半徑，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者聯(lián)立即可求出a、b和r的值，得到滿足題意的圓方程．

設(shè)所求圓的圓心為（a，b），半徑為r，

∵點(diǎn)A（2，3）關(guān)于直線x+2y＝0的對(duì)稱點(diǎn)A′仍在這個(gè)圓上，

∴圓心（a，b）在直線x+2y＝0上，

∴a+2b＝0，①

（2﹣a）2+（3﹣b）2＝r2．②

又直線x﹣y+1＝0截圓所得的弦長(zhǎng)為2，

圓心（a，b）到直線x﹣y+1＝0的距離為d，

則根據(jù)垂徑定理得：r2﹣（）2＝（）2③

解由方程①、②、③組成的方程組得：

或

∴所求圓的方程為（x﹣6）2+（y+3）2＝52或（x﹣14）2+（y+7）2＝244．

故答案為：(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.