Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，

Sn

是

1

4

與（a_n+1）²的等比中項(xiàng)．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（3）對(duì)于正整數(shù)m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值，求數(shù)列{b_n}的前2m項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得S_n=

1

4

(an+1)2，由此利用遞推思想能求出a₁，a₂，a₃．
（2）由Sn=

1

4

(an+1)2，得當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=

1

4

(an-1+1)2，從而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，進(jìn)而a_n-a_n-1=2．由此能證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（3）由a_n=2n-1，得為2n-1≥m，從而n≥

m+1

2

．由此能求出數(shù)列{b_n}的前2m項(xiàng)和．

解答： （1）解：（

Sn

）²=

1

4

(an+1)2，
即S_n=

1

4

(an+1)2，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

4

(a1+1)2，a₁＞0，
解得a₁=1．
∴S2=1+a2=

1

4

(a2+1)2，a₂＞0，
解得a₂=3，
S3=4+a3=

1

4

(a3+1)2，a₃＞0，
解得a₃=5．
（2）證明：由（1）得Sn=

1

4

(an+1)2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=

1

4

(an-1+1)2，
∴a_n=S_n-S_n-1=

1

4

(an2-an-12+2an-2an-1)，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（3）解：由（2）得a_n=2n-1，∴a_n≥m，即為2n-1≥m，
∴n≥

m+1

2

．
①m為奇數(shù)，則nmin=

m+1

2

，∴S2m=

2m2+3m

2

．
②m為偶數(shù)，則n_min=

m+2

2

，∴S2m=

2m2+5m

2

．
綜上所述，S_2m=

2m2+3m 2 ，m為奇數(shù) 2m2+5m 2 ，m為偶數(shù)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．