Question

設y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，如果存在點A，對函數(shù)y=f（x）的圖象上的任意P點，P關于A的對稱點Q也在函數(shù)y=f（x）的圖象上，那么稱函數(shù)y=f（x）的圖象關于點A對稱，A稱為函數(shù)y=f（x）的圖象的一個對稱中心．
（1）求證：點A（2，0）是函數(shù)y=（x-2）³的對稱中心；
（2）設y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，求證：A（a，b）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心的充要條件是函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)；
（3）試問函數(shù)f（x）=x³-2x²+3的圖象是否關于某點對稱？為什么？

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）在函數(shù)y=（x-2）³的圖象上任意取一點P（x，y），求得點P關于A（2，0）的對稱點Q（4-x，-y），再根據(jù)點Q的坐標滿足y=（x-2）³的解析式，可得點A是函數(shù)y=（x-2）³的對稱中心．
（2）把函數(shù)y=f（x）的圖象按照向量（-a，-b）平移，可得函數(shù)y=f（x+a）-b的圖象，此時，點A（a b）被平移到原點O（0，0）．再根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)證得結(jié)論．
（3）設f（x）=x³ -2x²+3 的對稱中心為點M（a，b），則函數(shù)y=f（x+a）-b=（x+a）³ -2（x+a）² +3-b是奇函數(shù)．由f（-x+a）-b=-[f（x+a）-b]，求得a、b的值，可得點M的坐標，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）在函數(shù)y=（x-2）³的圖象上任意取一點P（x，y），則有y=（x-2）³ ，且點P關于A（2，0）的對稱點Q（4-x，-y），
把點Q的坐標滿足y=（x-2）³的解析式，故點Q在y=（x-2）³的圖象上，故函數(shù)y=（x-2）³的圖象關于點A對稱，
即點A（2，0）是函數(shù)y=（x-2）³的對稱中心．
（2）把函數(shù)y=f（x）的圖象按照向量（-a，-b）平移，可得函數(shù)y=f（x+a）-b的圖象，此時，點A（a b）被平移到原點O（0，0）．
故A（a，b）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，等價于原點是函數(shù)y=f（x+a）-b的圖象的對稱中心，
等價于函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)．
（3）設f（x）=x³ -2x²+3 的對稱中心為點M（a，b），
則函數(shù)y=f（x+a）-b=（x+a）³ -2（x+a）² +3-b是奇函數(shù)．
 由f（-x+a）-b=-[f（x+a）-b]，可得f（-x+a）-b=-f（x+a）+b，
即 f（-x+a）+f（x+a）-2b=0，即 （-x+a）³ -2（-x+a）²+3+（x+a）³ -2（x+a）²+3-2b=0，
∴（6a-4）x²+2a³ -4a² +6-2b=0，∴

6a-4=0 2a3-4a2+6-2b=0

，求得

a= 2 3 b= 65 27

，
故函數(shù)f（x）=x³-2x²+3的圖象關于點M（

2

3

，

65

27

）對稱．

點評：本題主要考查函數(shù)的圖象的對稱性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象的變換，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于難題．