已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常數(shù)，a∈R.

(1)討論當a＝1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值；

(2)求證：在(1)的條件下，f(x)>g(x)＋；

(3)是否存在實數(shù)a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．


解　(1)∵f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－＝，

∴當0<x<1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當1<x<e時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

∴f(x)的極小值為f(1)＝1.

(2)證明：∵f(x)的極小值為1，即f(x)在(0，e]上的最小值為 1，∴f(x)min＝1.

又∵g′(x)＝，

∴0<x<e時，g′(x)>0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞增．

∴g(x)max＝g(e)＝<.

∴f(x)min－g(x)max>.

∴在(1)的條件下，f(x)>g(x)＋.

(3)假設(shè)存在實數(shù)a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，則f′(x)＝a－＝.

①當a≤0時，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，所以，此時f(x)的最小值不是3；

③當≥e，即0<a≤時，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，

f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)．所以，此時f(x)的最小值不是3.

綜上，存在實數(shù)a＝e2，使得當x∈(0，e]時，f(x)有最小值3.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


若f(x)是奇函數(shù)，且x0是y＝f(x)＋ex的一個零點，則－x0一定是下列哪個函數(shù)的零點(　　)

A．y＝f(－x)ex－1                       B．y＝f(x)e－x＋1

C．y＝exf(x)－1                         D．y＝exf(x)＋1

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函數(shù)y＝x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　)

A．(－1,1]                              B．(0,1]

C．[1，＋∞)                            D．(0，＋∞)

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設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是(　　)

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已知函數(shù)f(x)＝x2－1與函數(shù)g(x)＝alnx(a≠0)．

(1)若f(x)，g(x)的圖象在點(1,0)處有公共的切線，求實數(shù)a的值；

(2)設(shè)F(x)＝f(x)－2g(x)，求函數(shù)F(x)的極值．

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已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，f(1)＝0，當x>0時有>0，則不等式xf(x)>0的解集為(　　)

A．{x|－1<x<0}                          B．{x|x>1或－1<x<0}

C．{x|x>0}                              D．{x|－1<x<1}

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已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－mx.

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知角α的終邊上有一點P(t，t2＋1)(t>0)，則tanα的最小值為(　　)

A．1                                    B．2

C.                                    D.

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已知α，β∈，滿足tan(α＋β)＝4tanβ，則tanα的最大值是________．

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