Question

4．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在點(diǎn)P滿足$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{2}}|}$=e（e為雙曲線的離心率），則e的最大值為（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 3+$\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)|PF₁|=e|PF₂|，P在雙曲線右支（x≥a），利用雙曲線的第二定義，可得x關(guān)于e的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定e的范圍．

解答 解：設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，準(zhǔn)線方程為x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∵|PF₁|=e|PF₂|，P在雙曲線右支（x≥a），
根據(jù)雙曲線的第二定義，可得e²（x-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$），
∴（e-1）x=a+$\frac{{a}^{2}}{c}$
∵x≥a，∴（e-1）x≥（e-1）a
∴a+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥（e-1）a，e²-2e-1≤0，
∵e＞1，∴1＜e≤$\sqrt{2}$+1，
則雙曲線的離心率的最大值為$\sqrt{2}$+1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了雙曲線的第二定義的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．