【題目】已知函數(shù)，(其中是自然對數(shù)的底數(shù))，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）記

①當時，試判斷的導函數(shù)的零點個數(shù)；

②求證：時，

【答案】(1) 的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.

（2）①存在唯一零點,②證明見解析.

【解析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）①，當時， 在上單調(diào)遞增，又，可證明存在滿足且時，，從而可得結(jié)論；②由①知，可設(shè)在上存在唯一零點為，，即，，

將，代入上式，利用基本不等式可得結(jié)論.

（1），其定義域為，

由，令得，

令得，

∴的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為

（2）①解：由

∴，

當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.

∴在上單調(diào)遞增.

又

假設(shè)存在滿足且時，

∴當時在上存在唯一零點.

②由①知，可設(shè)在上存在唯一零點為，

∴，即

兩邊取自然對數(shù)得，，

又當時，，在上是減函數(shù)；

時，，在上是增函數(shù)，

∴，

將，代入上式得，

當且僅當時等號成立.所以當時，

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°．

（1）在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；
（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．

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A. B. C. D.

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（1）將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù)；(注：利潤=銷售收入-促銷費-投入成本)

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【題目】（12分）已知函數(shù)f（x）=

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間[1,+∞）上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論．

（2）求該函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x∈（0，e]時，求g（x）=e2x﹣lnx的最小值；
（3）當x∈（0，e]時，證明：e2x﹣lnx﹣ ＞ ．

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（2）求過點A，B且與的準線相切的圓的方程．

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【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用

水量

[0,0.1)

[0.1,0.2)

[0.2,0.3)

[0.3,0.4)

[0.4,0.5)

[0.5,0.6)

[0.6,0.7)

頻數(shù)

1

3

2

4

9

26

5

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用

水量

[0,0.1)

[0.1,0.2)

[0.2,0.3)

[0.3,0.4)

[0.4,0.5)

[0.5,0.6)

頻數(shù)

1

5

13

10

16

5

⑴在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

⑵估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；

⑶估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表．）

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