Question

【題目】如圖，正四面體ABCD中，異面直線AB與CD所成的角為_______，直線AB與底面BCD所成角的余弦值為_______．

Answer 1

【答案】90°

【解析】

取CD中點(diǎn)E，連接AE、BE，作AF⊥BE于點(diǎn)F，

空1：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

空2：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理，結(jié)合線面角定義、銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可.

取CD中點(diǎn)E，連接AE、BE，作AF⊥BE于點(diǎn)F.

空1：因?yàn)?/span>，所以CD⊥AE，CD⊥BE，

AEBE＝E，平面ABE，∴CD⊥平面ABE，平面ABE，

∴CD⊥AB，∴異面直線AB與CD所成的角為90°；

空2：∵CD⊥平面ABE，平面ABE，∴CD⊥AF，又AF⊥BE，

平面BCD，∴AF⊥平面BCD，

∴∠ABF是直線AB與底面BCD所成角，

正四面體ABCD中，因?yàn)?/span>AF⊥平面BCD，所以點(diǎn)F是三角形BCD的中心，

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，所以

則．

故答案為：90°；