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20.設函數f(x)=lg(ax-bx),且f(1)=lg2,f(2)=lg12
(1)求a,b的值.
(2)當x∈[1,2]時,求f(x)的最大值.
(3)m為何值時,函數g(x)=ax的圖象與h(x)=bx-m的圖象恒有兩個交點.

分析 (1)由已知可得a-b=2,a2-b2=12,解得答案;
(2)當x∈[1,2]時,4x-2x∈[2,12],結合對數函數的圖象和性質,可得答案;
(3)若函數g(x)=ax的圖象與h(x)=bx-m的圖象恒有兩個交點,則4x-2x=-m有兩個解,令t=2x,則t>0,則t2-t=-m有兩個正解,進而得到答案.

解答 解:(1)∵f(x)=lg(ax-bx),且f(1)=lg2,f(2)=lg12,
∴a-b=2,a2-b2=12,
解得:a=4,b=2;
(2)由(1)得:函數f(x)=lg(4x-2x),
當x∈[1,2]時,4x-2x∈[2,12],
故當x=2時,函數f(x)取最大值lg12,
(3)若函數g(x)=ax的圖象與h(x)=bx-m的圖象恒有兩個交點.
則4x-2x=-m有兩個解,令t=2x,則t>0,
則t2-t=-m有兩個正解;
{14m0m0
解得:m∈(0,14).

點評 本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質,熟練掌握對數函數的圖象和性質,是解答的關鍵.

練習冊系列答案
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