分析 (1)求得AF的斜率,由兩直線平行的條件:斜率相等,得出直線l的方程,再由直線與圓相切得a2=2c2,從而求得離心率;
(2)求得b=4,可得橢圓方程,圓的圓心和半徑,設P(x,y),→PM•→PN=(→PC2+→C2M)•(→PC2+→C2N)=→PC22-→C2N2,化簡整理,運用二次函數(shù)的最值和橢圓的范圍,即可得到最大值.
解答 解:(1)由題意可得A(0,b),F(xiàn)(c,0),
直線l的斜率為k=kAF=-c,
直線l的方程為bx+cy-(3-√2)c=0,
因為直線與圓c2:x2+(y-3)2=1相切,
可得d=|3c−3c+√2c|√2+c2=1,即a2=2c2,
從而e=ca=√22;
(2)設P(x,y)、圓C2的圓心記為C2(0,3),半徑為1.
橢圓方程為x22c2+y2c2=1(c>0),
由題意可得2b=8,即b=4,即c=4,
則橢圓方程為x2+2y2=32,即有x2=32-2y2,
又→PM•→PN=(→PC2+→C2M)•(→PC2+→C2N)=→PC22-→C2N2
=x2+(3-y)2-1=-(y+3)2+49(-4≤y≤4).
當y=-3時,(→PM•→PN)max=49.
故→PM•→PN的最大值為49.
點評 本題主要考查直線、圓、橢圓的基本性質(zhì)及位置關系的應用,滲透向量、函數(shù)最值等問題,培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 一個橢圓上 | B. | 一個圓上 | C. | 一條拋物線上 | D. | 雙曲線的一支上 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | [0,23] | B. | [√33,1) | C. | [1,√3] | D. | [32,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
A. | (5,50) | B. | (5,60) | C. | (4,55) | D. | (4,50) |
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