Question

已知函數(shù)f(x)=

px2+2

-3x

，且f(2)=-

5

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入函數(shù)的解析式，列出關(guān)于p的方程，求解即可；
（2）由（1）求出的解析式，根據(jù)分母不為零求出函數(shù)的定義域，然后驗證f（x）與f（-x）的關(guān)系，判斷出函數(shù)的奇偶性；
（3）先把解析式化簡后判斷出單調(diào)性，再利用定義法證明：在區(qū)間上取值-作差-變形-判斷符號-下結(jié)論，因解析式由分式，故變形時必須用通分．

解答：解：（1）由題意知f(2)=-

5

3

，f(x)=

px2+2

-3x

即f(2)=

4p+2

-6

=-

5

3

，解得p=2
則所求解析式為f(x)=

2x2+2

-3x

（2）由（1）得，f(x)=

2x2+2

-3x

，則此函數(shù)的定義域是{x|x≠0}，
∵f（-x）=

2x2+2

3x

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）由（1）可得f(x)=

2x2+2

-3x

=-

2

3

(x+

1

x

)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，
證明如下：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
∴f(x1)-f(x2)=

2

3

[(x2+

1

x2

)-(x1+

1

x1

)]=

2

3

[(x2-x1)+(

1

x2

-

1

x1

)]
=

2

3

[(x2-x1)+

x1-x2

x1x2

]=

2

3

(x1-x2)(

1

x1x2

-1)=

2

3

(x1-x2)×

1-x1x2

x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1，0＜x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)綜合題，用待定系數(shù)法求解析式，用定義法證明函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，必須遵循證明的步驟，考查了分析問題和解決問題能力．