Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x-2

，
（1）判斷f（x）在[3，5]上的單調(diào)性，并證明；
（2）求f（x）在[3，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用單調(diào)性的定義來判斷f（x）在[3，5]上的單調(diào)性即可；
（2）根據(jù)f（x）在[3，5]上的單調(diào)性，求出f（x）在[3，5]上的最值．

解答： 解：（1）f（x）在[3，5]上為減函數(shù)，…（1分）
證明：任取x₁，x₂∈[3，5]，有x₁＜x₂
∴f(x1)-f(x2)=

1

x1-2

-

1

x2-2

=

x2-x1

(x1-2)(x2-2)

；…（2分）
∵x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0；
又∵x₁，x₂∈[3，5]，
∴（x₁-2）（x₂-2）＞0，
∴

x2-x1

(x1-2)(x2-2)

＞0；…（3分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；…（4分）
∴f（x）在[3，5]上的是減函數(shù)；…（5分）
（2）∵f（x）在[3，5]上的是減函數(shù)，…（6分）
∴f（x）在[3，5]上的最大值為f（3）=1，…（7分）
f（x）在[3，5]上的最小值為f(5)=

1

3

．…（8分）

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，也考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題．