Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁為棱長(zhǎng)為1的正方體，點(diǎn)P₁，P₂分別是線段AB，BD₁上的動(dòng)點(diǎn)且不包括端點(diǎn)，在P₁，P₂運(yùn)動(dòng)的過程中線段P₁，P₂始終平行平面A₁ADD₁，則幾何體P₁P₂AB₁的體積為最大值時(shí)，AP₁=（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、1
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：組合幾何體的面積、體積問題

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意可得△P₁P₂B∽△AD₁B，設(shè)出P₁B=x，則P₁P₂=

2

x，P₂到平面AA₁B₁B的距離為x，求出四面體的體積，通過二次函數(shù)的最值，求出四面體的體積的最大值．

解答： 解：由題意在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P₁，P₂分別是線段AB，BD₁（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段P₁P₂平行于平面A₁ADD₁，△P₁P₂B∽△AD₁B，
設(shè)P₁B=x，x∈（0，1），
則P₁P₂=

2

x，P₂到平面AA₁B₁B的距離為x，
所以四面體P₁P₂AB₁的體積為V=

1

3

×

1

2

×1×x×（1-x）=

1

6

（x-x²），
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，體積取得最大值：

1

24

．
∴AP₁=

1

2

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體中，幾何體的體積的求法，找出所求四面體的底面面積和高是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．