Question

函數(shù)f（x）=ax³-bx²+cx的圖象如圖所示，且f（x）在x=x₀與x=1處取得極值，給出下列判斷：
①c＞0；
②f（1）+f（-1）＞0；
③函數(shù)y=f′（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
其中正確的判斷是（　�。�

• A、①③
• B、②
• C、②③
• D、①②

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）在x=x₀與x=1處取得極值，求出a，b，c之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ax³-bx²+cx，且f（x）在x=x₀與x=1處取得極值，
∴a＞0，且f′（x）=3ax²-2bx+c，
則x=x₀與x=1是方程f′（x）=3ax²-2bx+c=0的兩個(gè)不同的根，
即1+x₀=

2b

3a

，1×x₀=

c

3a

，
則2b=3a（1+x₀），c=3ax₀，
∵由圖象可知x₀＜-1，∴c=3ax₀＜0，故①不正確．
∵f（1）+f（-1）=-2b，且2b=3a（1+x₀）＜0，
∴f（1）+f（-1）=-2b＞0，故②正確．
f′（x）=3ax²-2bx+c=3a（x-1）（x-x₀）是開口向上，對(duì)稱軸為x=-

-2b

2×3a

=

b

3a

＜0
∴函數(shù)y=f′（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，故③正確
故正確的命題是②③，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的應(yīng)用，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷a，b，c的大小是解決本題的關(guān)鍵．