Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若對(duì)于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：求出f′（x）=0時(shí)x的值，討論函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值，讓最小值大于等于0即可求出a的范圍．

解答：解：f′（x）=3ax²-3，當(dāng)a≤0時(shí)3ax²-3＜0，函數(shù)是減函數(shù)，f（0）=1，只需f（1）≥0，即可，解得a≥2，與已知矛盾，
當(dāng)a＞0時(shí)令f′（x）=3ax²-3=0解得x=±

a

a

，
①當(dāng)x＜-

a

a

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數(shù)，
②當(dāng)-

a

a

＜x＜

a

a

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數(shù)，③當(dāng)x＞

a

a

時(shí)，f（x）為遞增函數(shù)．
所以f（x）_min=f（

a

a

）≥0，得a•(

a

a

)3-3•

a

a

+1≥0，解得a≥4，且f（-1）≥0，可得a≤4，且f（1）≥0，
解得2≤a≤4，
綜上a=4為所求．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解函數(shù)恒成立時(shí)取條件的能力，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的能力．