Question

7．如圖，已知ABCD是邊長為1的正方形，Q₁為CD的中點，P_i（i=1，2…，n）為AQ_i與BD的交點，過P_i作CD的垂線，垂足為Q_i+1，則$\sum_{i=1}^{10}$S${\;}_{△D{Q_i}{P_i}}$=$\frac{5}{24}$．

Answer 1

分析 由題意可知：則A（1，1），Q₁（$\frac{1}{2}$，0），D（1，0），B（0，1），則直線BD：x+y=1，直線AQ：y=2x-1，求得P₁（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），則Q₂（$\frac{2}{3}$，0），則直線AQ₂：y=3x-2，P₂（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$），則Q₃（$\frac{3}{4}$，0），則P_i（$\frac{i+1}{i+2}$，$\frac{1}{i+2}$），Q_i（$\frac{i}{i+1}$，0），根據三角形面積公式，${S}_{△D{Q}_{I}{P}_{I}}$=$\frac{1}{2}$丨DQ_i丨丨P_iQ_i+1丨=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{i}{i+1}$）×$\frac{1}{i+2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{i+1}$-$\frac{1}{i+2}$），采用“裂項法”即可求得$\sum_{i=1}^{10}$S${\;}_{△D{Q_i}{P_i}}$的值．

解答 解：如圖，以C點為坐標原點，建立平面直角坐標系，由正方形ABCD邊長為1，則A（1，1），Q₁（$\frac{1}{2}$，0），D（1，0），B（0，1），
則直線BD：x+y=1，直線AQ：y=2x-1，
聯立可得P₁（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），則Q₂（$\frac{2}{3}$，0），
則直線AQ₂：y=3x-2，
聯立直線BD和直線AQ₂，可得P₂（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$），則Q₃（$\frac{3}{4}$，0），
…
可得P_i（$\frac{i+1}{i+2}$，$\frac{1}{i+2}$），Q_i（$\frac{i}{i+1}$，0），
則${S}_{△D{Q}_{I}{P}_{I}}$=$\frac{1}{2}$丨DQ_i丨丨P_iQ_i+1丨=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{i}{i+1}$）×$\frac{1}{i+2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{i+1}$-$\frac{1}{i+2}$），
$\sum_{i=1}^{10}$S${\;}_{△D{Q_i}{P_i}}$=$\frac{1}{2}$$\sum_{i=1}^{10}$（$\frac{1}{i+1}$-$\frac{1}{i+2}$），
=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{12}$）]，
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{12}$），
=$\frac{5}{24}$，
則$\sum_{i=1}^{10}$S${\;}_{△D{Q_i}{P_i}}$=$\frac{5}{24}$，

點評 本題考查三角形的面積公式，考查數列的應用，考查利用“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．