Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂ ，以F₁、F₂為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M（0，b）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且.求證：直線l在y軸上的截距為定值。

Answer 1

（1）（2）.直線l在y軸上的截距為定值

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)問題，以及韋達(dá)定理的綜合運(yùn)用。
（1）利用橢圓的性質(zhì)可知參數(shù)a,b,c的值，求解得到橢圓的方程。
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823222145509635.png" style="vertical-align:middle;" />，所以直線與x軸不垂直.設(shè)直線的方程為，然后直線與橢圓聯(lián)立方程組，借助于韋達(dá)定理來解決
（1）由題設(shè)知，又，所以，故橢圓方程為；……2分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823222145509635.png" style="vertical-align:middle;" />，所以直線與x軸不垂直.設(shè)直線的方程為，由得，所以
…………………6分
又，所以，即，
，
整理得，
即，…………10分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823222146117459.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
展開整理得，即.直線l在y軸上的截距為定值