Question

【題目】已知函數(shù)，且上的最大值為．

求函數(shù)的解析式；

判斷在內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)，并加以證明．

Answer 1

【答案】(1) (2) 函數(shù)在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)

【解析】

(1)函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出即可．

(2)，求出導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點(diǎn)，通過當(dāng)時，當(dāng)時，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即可。

(1)因?yàn)?/span>，所以，，所以

由題意，在上恒成立，且能取到等號

即在上恒成立，且能取到等號，即

令，則

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，解得，

所以。

(2)因?yàn)?/span>

當(dāng)時，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增

因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)

當(dāng)時，令

因?yàn)?/span>，所以函數(shù)即當(dāng)時單調(diào)遞減

又因?yàn)?/span>，所以存在唯一使

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

注意到，，所以

所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)，

由得函數(shù)在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)。