Question

16．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
（1）畫出二面角A-B₁C-C₁ 的平面角
（2）求證：面BB₁DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁．

Answer 1

分析 （1）取B₁C的中點O，則∠AOC₁就是二面角A-B₁C-C₁ 的平面角．
（2）推導出BB₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥B₁D₁，從而A₁C₁⊥面BB₁DD₁，由此能證明面BB₁DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁．

解答 解：（1）取B₁C的中點O，則∠AOC₁就是二面角A-B₁C-C₁ 的平面角．
理由如下：
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AB₁=AC，B₁C₁=CC₁，
O是B₁C的中點，
∴A₁O⊥B₁C，C₁O⊥B₁C，
∴∠AOC₁是二面角A-B₁C-C₁ 的平面角．
證明：（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥A₁C₁，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵BB₁∩B₁D₁=B₁，∴A₁C₁⊥面BB₁DD₁，
∵A₁C₁?面A₁B₁C₁D₁．
∴面BB₁DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的作法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．