Question

已知AB是拋物線x²=2y上相異的兩個動點，且滿足

OA

•

OB

=-1
（Ⅰ）求證：直線AB恒過一定點，并求出該點坐標；
（Ⅱ）取拋物線上一點P（P點橫坐標xP∈[-

2

，

2

]），其關(guān)于y軸的對稱點為P'．過P、P'作圓Q（Q是y軸正半軸一點），使拋物線上除點P、P'外，其余各點均在圓Q外，求當(dāng)圓Q半徑取得最大值時的標準方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知可得直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，聯(lián)立拋物線方程，利用

OA

•

OB

=-1，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）分類討論，確定過P且與切線垂直的直線為L：y-yP=-

1

xP

(x-xP)其，與y軸交點就是Q點，則PQ=

xP2+1

，當(dāng)xP=

2

時，圓Q半徑取得最大值，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：由已知可得直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立拋物線方程得：x²-2kx-2b=0，
因為

OA

•

OB

=-1，
所以x1x2+y1y2=x1x2+

(x1x2)2

4

=-1，可得b=1，
所以直線AB的方程為y=kx+1，恒過定點（0，1）；
（Ⅱ）解：設(shè)圓心Q坐標為（0，q），
當(dāng)P與P'重合時，則P、P'與O重合，圓Q：x²+（y-q）²=q²圓與拋物線切于原點，此時0＜q≤1，
當(dāng)P與P'不重合時，設(shè)P為（x_P，y_P），由對稱性不妨設(shè)xP∈(0，

2

]，
則過P的拋物線的切線方程為xx_P=y+y_P，斜率為k=x_P
過P且與切線垂直的直線記為L：y-yP=-

1

xP

(x-xP)，其與y軸交點就是Q點，坐標為（0，y_P+1），
則PQ=

xP2+1

，當(dāng)xP=

2

時，圓Q半徑取得最大值，圓心為（0，2），半徑為

3

綜上所求圓Q的標準方程是：x²+（y-2）²=3．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查圓的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．