Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1），g（x）=x-

1

2

x2，a∈R．
（1）若a=-1，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若對(duì)任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值；
（3）設(shè)p（x）=f（x-1），a＞0，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為曲線y=p（x）的兩個(gè)不同點(diǎn)，滿(mǎn)足0＜x₁＜x₂，且?x₃∈（x₁，x₂），使得曲線y=P（x）在（x₃，P（x₃））處的切線與直線AB平行，求證：x₃＜

x1+x2

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將a=-1代入f（x）=aln（x+1），然后求出f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)值即為切線方程的斜率，從而可得到切線方程．
（2）根據(jù)f（x）≥g（x）恒成立，即aln（x+1）-x+

1

2

x2≥0恒成立．令h（x）=aln（x+1）-x+

1

2

x2，x≥0．根據(jù)h（x）的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性，從而求出a的最小值．
（3）p（x）=f（x-1）=alnx，欲證x₃＜

x1+x2

2

?證明p′(x3)＜p′(

x1+x2

2

)．變形可得，ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

．構(gòu)造函數(shù)q(t)=lnt+

1

t

-1，t＞1，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，確定q（t）＞q（1）=0，即可證出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a=-1，
∴f（x）=-ln（x+1）．
∴f（0）=0．
∴f′（x）=-

1

x+1

．
∴f′（0）=-1．
∴曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為x+y=0．
（2）f（x）≥g（x）恒成立，
即aln（x+1）≥x-

1

2

x2（a∈R）恒成立．
即aln（x+1）-x+

1

2

x2≥0恒成立．
令h（x）=aln（x+1）-x+

1

2

x2，x≥0．
則h′（x）=

a

x+1

-1+x=

x2+a-1

x+1

，x≥0．
（Ⅰ）若a≥1，
則h′（x）≥0恒成立．
∴函數(shù)h（x）=在[0，+∞）上位單調(diào)遞增函數(shù)．
∴h（x）≥h（0）恒成立．
又∵h(yuǎn)（0）=0，
∴a≥1符合條件．
（Ⅱ）若a＜1，
則由h′（x）=0，得x²=1-a．
解得，x=

1-a

或x=-

1-a

（舍去）．
當(dāng)x∈[0，

1-a

）時(shí)，h′（x）＜0．
當(dāng)x∈[

1-a

，+∞）時(shí)，h′（x）＞0．
∴h(x)極小值=h(

1-a

)．
∴h(

1-a

)＜h(0)=0．
這與h（x）≥0恒成立矛盾．
綜上，a≥1．
∴a的最小值為1．
（3）p（x）=f（x-1）=alnx，
則kAB=

alnx2-alnx1

x2-x1

．
又∵p′(x)=

a

x

，
∴p′(x3)=

a

x3

．
∴

alnx2-alnx1

x2-x1

=

a

x3

．
由p′(x)=

a

x

，a＞0．易知其在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)．
∴欲證x₃＜

x1+x2

2

?證明p′(x3)＜p′(

x1+x2

2

)．
即

alnx2-alnx1

x2-x1

＞

2a

x1+x2

．
變形可得，
ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

．
令

x2

x1

=t，t＞1．
原不等式等價(jià)于lnt＞

2(t-1)

t+1

，
即（t+1）lnt＞2（t-1）．
構(gòu)造函數(shù)q(t)=lnt+

1

t

-1，t＞1．
當(dāng)t＞1時(shí)，q′(t)=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

＞0．
∴q′（t）在（1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．
∴q′（t）＞q′（1）=0．
∴q（t）在為單調(diào)遞增函數(shù)
∴q（t）＞q（1）=0．
∴q（t）＞0在（1，+∞）上恒成立．
∴（t+1）lnt＞2（t-1）成立．
∴x₃＜

x1+x2

2

得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值和最值等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于難題．