Question

已知函數(shù)f（x）=|ax-2|+|ax-a|（a＞0）．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）若不存在實(shí)數(shù)x，使f（x）＜3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，不等式即f（x）=|x-2|+|x-1|≥x，分類(lèi)討論求得解集．
（Ⅱ）依題意可得，對(duì)?x∈R，都有f（x）≥3，再根據(jù)f（x）=|a-2|，可得|a-2|≥3．解不等式求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-2|+|x-1|≥x，當(dāng)x≥2時(shí)，解得x≥3；
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，解得x≤1，∴無(wú)解； 當(dāng)x≤1時(shí)，解得x≤1．
綜上可得到解集{x|x≤1或x≥3}．
（Ⅱ）依題意，對(duì)?x∈R，都有f（x）≥3，
則有f（x）=|ax-2|+|ax-a|≥|（ax-2）-（ax-a）|=|a-2|≥3，
故有 a-2≥3，或 a-2≤-3，解得a≥5，或 a≤-1（舍去），
∴a≥5，即a的取值范圍為[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．