Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx+1（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)恒等變形變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出周期和單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，利用函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sinωxcosωx+

1+cos2ωx

2

+1
=

3

2

sin 2ωx+

1

2

cos 2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

．
∵ω＞0，T=π，
∴ω=1．
故f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

．
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f（x）取最大值

5

2

；
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）取得最小值1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間和最值．