Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)的值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式 可得f（x）sin（2x-

π

6

）-1，由周期公式即可解得T，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由x∈[

π

4

，

π

2

]，可得2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，從而可解得f（x）=sin（2x-

π

6

）-1的值域．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1，…2分
∴由周期公式可得：T=π，…4分
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是：[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]k∈Z…6分
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）-1∈[-

1

2

，0]…8分

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．