Question

已知函數(shù)g（x）是冪函數(shù)，h（x）=ax^-1，f（x）=h（x）-g（x），且函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（4，-

7

2

）和（1，1）兩點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)在區(qū)間[-2，3]上是否存在最大值或最小值；若存在，求出對(duì)應(yīng)的最值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將點(diǎn)（4，-

7

2

）代入函數(shù)f（x）=h（x）-g（x）的解析式，可得指數(shù)及a的值，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而可得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)g（x）是冪函數(shù)，h（x）=ax^-1，
∴設(shè)g（x）=x^α，
∴f（x）=ax^-1-x^α，
又∵函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（4，-

7

2

）和（1，1）兩點(diǎn)．
∴

a 4 -4α=- 7 2 a-1=1

，
解得：a=2，α=1，
∴f（x）=

2

x

-x，
（2）∵f（x）=

2

x

-x的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
又∵f′（x）=

-x2-2

x2

＜0恒成立，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞），
函數(shù)在區(qū)間[-2，3]上無最大值和最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求地，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．