Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2tx在區(qū)間[-1，5]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=x+m有區(qū)間（-1，2）上有唯一實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍（注：相等的實數(shù)根算一個）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系數(shù)法，可得f（x）的解析式；
（2）由g（x）=f（x）-2tx=x²-（2t+1）x+1的圖象關(guān)于直線x=t+

1

2

對稱，結(jié)合函數(shù)g（x）在[-1，5]上是單調(diào)函數(shù)，可得t+

1

2

≤-1或t+

1

2

，解得實數(shù)t的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=x+m有區(qū)間（-1，2）上有唯一實數(shù)根，則函數(shù)h（x）在（-1，2）上有唯一的零點，分類討論，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
代入f（x+1）-f（x）=2x得2ax+a+b=2x對于x∈R恒成立，
故

2a=2 a+b=0

…（3分）
又由f（0）=1得c=1，
解得a=1，b=-1，c=1，
所以f（x）=x²-x+1．…（5分）
（2）因為g（x）=f（x）-2tx=x²-（2t+1）x+1的圖象關(guān)于直線x=t+

1

2

對稱，
又函數(shù)g（x）在[-1，5]上是單調(diào)函數(shù)，故t+

1

2

≤-1或t+

1

2

，…（8分）
解得t≤-

3

2

或t≥

9

2

故實數(shù)t的取值范圍是（-∞，-

3

2

]∪[

9

2

，+∞）．…（10分）
（3）由方程f（x）=x+m得x²-2x+1-m=0，
令h（x）=x²-2x+1-m，x∈（-1，2），即要求函數(shù)h（x）在（-1，2）上有唯一的零點，…（11分）
①若h（-1）=0，則m=4，代入原方程得x=-1或3，不合題意；…（12分）
②若h（2）=0，則m=1，代入原方程得x=0或2，滿足題意，故m=1成立；…（13分）
③若△=0，則m=0，代入原方程得x=1，滿足題意，故m=0成立；…（14分）
④若m≠4且m≠1且m≠0時，由

h(-1)=4-m＞0 h(2)=1-m＜0

得1＜m＜4．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是{0}∪[1，4）．  …（16分）
（說明：第3小題若采用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解，正確的給（3分），不正確的得0分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．