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9.如圖,在四面體S-ABC中,SA、SB、SC兩兩垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,求:
(1)BC與平面SAB所成的角;
(2)SC與平面ABC所成的角的余弦值.

分析 (1)推導(dǎo)出SC⊥平面SAB,∠SBC為BC與平面SAB所成的角,由此能求出BC與平面SAB所成的角.
(2)取AB中點(diǎn)M,連結(jié)MC,過(guò)點(diǎn)S作SO⊥MC于點(diǎn)O,則∠SCM為SC與平面ABC所成的角.由此能求出SC與平面ABC所成的角的余弦值.

解答 解:(1)∵CS⊥SB,CS⊥SA,
∴SC⊥平面SAB,
∴BC在平面SAB上的射影為SB.
∴∠SBC為BC與平面SAB所成的角.
又∠SBC=60°,
故BC與平面SAB所成的角為60°.
(2)取AB中點(diǎn)M,連結(jié)MC,在Rt△ASB中,∠SBA=45°,
∴SM⊥AB.
又AB⊥SC,∴AB⊥面SMC.
∴面SMC⊥面ABC.
過(guò)點(diǎn)S作SO⊥MC于點(diǎn)O,
∴SO⊥面ABC,
∴∠SCM為SC與平面ABC所成的角.
設(shè)SB=a,則SM=22a,
在△SBC中,SC=SBtan 60°=3a,BC=2a,
∵SA、SB、SC兩兩垂直,∴SC⊥平面ABS,∴SC⊥SM,
∴tan∠SCM=SMSC=22a3a=66
∴cos∠SCM=427
∴SC與平面ABC所成的角的余弦值為427

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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