Question

【題目】給定正整數(shù)，將分拆成若干個(gè)互異正整數(shù)的和，這些正整數(shù)的乘積記為.對(duì)所有不同的分法，求的最大值.

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)分拆成時(shí)，達(dá)到最大值.

下面證明：具有以下4條性質(zhì).

（1）；

（2）；

（3）最多有一個(gè)，使；

（4）.

（1）若有某個(gè)，必定是.

令，則，矛盾.

（2）若有某個(gè)，使得，則令，.

由，知，矛盾.

（3）若有某個(gè)，使得，，則令，.

由

，知，矛盾.

（4）若，則由知，存在，且由前面的討論有或6.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，將分拆成，由，知，矛盾.

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，將分拆成，由，知，矛盾.

若，將分拆成，由，知，矛盾.

綜上所述，當(dāng)達(dá)到最大時(shí)，的分拆只有兩種形式：

第一種形式為；

第二種形式為.

若同時(shí)存在上述兩種類(lèi)型的分拆，即，

其中，，.

我們證明必有，.

實(shí)際上，若，移項(xiàng)得.矛盾.

同樣可知，亦矛盾.

于是，.從而，，即.

此時(shí)，對(duì)應(yīng)的值之比為.

因此，當(dāng)同時(shí)存在兩種分拆時(shí)，第一種形式的分拆使達(dá)到最大.

取劃分?jǐn)?shù)列，則對(duì)給定的整數(shù)，總存在確定的整數(shù)，

使得.

令，則.

解得，即.

于是，對(duì)給定的正整數(shù)，總存在確定的整數(shù)、，使得.

（1）當(dāng)時(shí)，

，

這是第二種形式的分拆，其中，.

若存在第一種形式的分拆，則由上面討論，必有，，即

，這與矛盾.

于是，只存在第二種形式的分拆，此時(shí)，.

（2）當(dāng)時(shí)，，這是第一種形式的分拆，其中，.此時(shí)，.

綜上所述，設(shè)，