Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在上的最值；

（2）設(shè)，若當(dāng)，且時(shí)，，求整數(shù)的最小值..

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）2

【解析】

(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后討論參數(shù)的范圍，分別判斷每種情況下的單調(diào)性，即可求出對(duì)應(yīng)的最值；

(2)先寫出的解析式，分兩種情況討論：

當(dāng)時(shí)，由(1)易知時(shí)，，從而，進(jìn)而可得m的范圍；

當(dāng)時(shí)，可將變形為，只需用導(dǎo)數(shù)的方法研究的單調(diào)性和最值即可；

解法一：

（1），

①當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，

所以，無最小值.

②當(dāng)時(shí)，

令，解得，在上單調(diào)遞減；

令，解得，在上單調(diào)遞增；

所以，無最大值.

③當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，等號(hào)僅在，時(shí)成立，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，無最大值.

綜上，當(dāng)時(shí)，，無最小值；當(dāng)時(shí)，，無最大值；當(dāng)時(shí)，，無最大值.

（2）,

當(dāng)時(shí)，因為，由（1）知，所以（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以，

令，，已知化為在上恒成立，

因?yàn)?/span>，

令，，則，在上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>，，

所以存在使得，

當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以的最小整數(shù)值為2.

解法二：

（1）同解法一.

（2），

①當(dāng)時(shí)，因為，由（1）知，所以，所以，

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，所以，

令，，已知化為在上恒成立，

因?yàn)?/span>在上，所以，

下面證明，即證在上恒成立，

令，，

則，令，得，

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上遞減；

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上遞增，

所以，且，

所以當(dāng)時(shí)，，即.

由①②得當(dāng)時(shí)，，

所以的最小整數(shù)值為2.