Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．

（1）求函數(shù)的解析式，并證明：．

（2）已知，且函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，，，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，，證明：（1）.

Answer 1

【答案】（1）；證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據(jù)題意，對求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程求出和，即可求出的解析式，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性和最值得出，即可證明不等式；

（2）結(jié)合分析法，把所要證明的問題轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為只需證：，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可證明出（1）.

解：（1）由題可知，，則，

由于在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，

所以（1），即，

即（1），則，解得：，

則．

令，，

令，即，解得：，

則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，則．

（2）由題可知，，且，

則，，

要證（1）成立，

只需證：，

即證：，即證：，

只需證：，

不妨設(shè)，即證：，

要證，只需證：，

令，則，

在上為增函數(shù)，

，即成立；

要證，只需證：，

令，則，

在上為減函數(shù)，

，即成立．

，成立，

（1）成立．