Question

2．在平面直角坐標系中，設(shè)向量$\overrightarrow a=（sinθ，-\frac{1}{2}），\overrightarrow b=（cosθ，\frac{1}{4}）$，其中θ∈（0，π）．
（1）若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，求sinθ和cosθ的值；
（2）設(shè)$ϕ∈（0，\frac{π}{2}）$，且$sin（ϕ+\frac{π}{2}）+cos（ϕ-\frac{3π}{2}）=0$，若$sinθcosϕ+cosθsinϕ=\frac{{\sqrt{10}}}{4}$，求證：$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，得到$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}$=-2=tanθ，由此能求出sinθ，cosθ．
（2）利用誘導(dǎo)公式求出cosϕ-sinϕ=0，從而cosϕ=sinϕ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，進而得到sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求出sinθcosθ=$\frac{1}{8}$，由此能證明$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$．

解答 解：（1）∵平面直角坐標系中，
向量$\overrightarrow a=（sinθ，-\frac{1}{2}），\overrightarrow b=（cosθ，\frac{1}{4}）$，其中θ∈（0，π）．
$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
∴$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}$=-2=tanθ，
∴θ∈（$\frac{π}{2}，π$），
∴sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
cosθ=-$\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$．
證明：（2）∵$ϕ∈（0，\frac{π}{2}）$，且$sin（ϕ+\frac{π}{2}）+cos（ϕ-\frac{3π}{2}）=0$，
∴cosϕ-sinϕ=0，∴cosϕ=sinϕ=cos$\frac{π}{4}$=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$sinθcosϕ+cosθsinϕ=\frac{{\sqrt{10}}}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴1+2sinθcosθ=$\frac{5}{4}$，∴sinθcosθ=$\frac{1}{8}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=sinθcosθ-$\frac{1}{8}$=0，
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$．

點評 本題考查三角函數(shù)值的求法，考查向量垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量的數(shù)量積公式、誘導(dǎo)公式、向量垂直的性質(zhì)的合理運用．