Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，DC=2，點E在PB上．
（1）求證：平面AEC⊥平面PAD；
（2）當(dāng)PD∥平面AEC時，求PE：EB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AF⊥DC于F，根據(jù)中線等于斜邊一半可得AC⊥DA，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知AC⊥PA，最后根據(jù)線面垂直的判定定理可得AC⊥底面PAD，再根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（2）連接BD交AC于點O，連接EO，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知PD∥EO，則PE：EB=DO：OB，而DO：OB=DC：AB=2，從而可求出PE：EB的值．
解答：（1）證明：過A作AF⊥DC于F，則CF=DF=AF，所以∠DAC=90°，即AC⊥DA …2分
又PA⊥底面ABCD，AC?面ABCD，所以AC⊥PA …4分
因為PA、AD?面PAD，且PA∩AD=A，所以AC⊥底面PAD …6分
而AC?面ABCD，所以平面AEC⊥平面PAD …8分
（2）解：連接BD交AC于點O，連接EO，因為PD∥平面AEC，PD?面PBD，面PBD∩面AEC=EO，所以PD∥EO…11分
則PE：EB=DO：OB，而DO：OB=DC：AB=2，所以PE：EB=2 …14分
點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及線面平行的性質(zhì)，同時考查了空間想象能力和推理論證的能力，屬于基礎(chǔ)題．