Question

平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成n²－n＋2部分．

Answer 1

答案：
解析：

證明　　(1)當(dāng)n＝1時，一個圓把平面分成2部分，命題成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，k個圓把平面分成k2－k＋2部分， 　　那么當(dāng)n＝k＋1時，這k＋1個圓中的k個圓把平面分成k2－k＋2部分，第k＋1個圓被k個圓分成2k條弧，每條弧把它所在的部分分成了2部分，此時共增加了2k個部分，即k＋1個圓把平面分成k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2部分． 　　所以當(dāng)n＝k＋1時命題也成立． 　　由(1)(2)可知命題對任何正整數(shù)都成立．