【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及m的取值范圍;
(2)求證直線MA,MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.
【答案】
(1)解:設(shè)橢圓方程為 (a>b>0),且a=2b,
橢圓經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),則 ,解得:a=2 ,b= ,
∴橢圓方程 ;
∵直線l平行于OM,且在y軸上的截距為m 又kOM= ,
∴l(xiāng)的方程為:y= x+m,
由 ,整理得:x2+2mx+2m2﹣4=0
∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn),△=(2m)2﹣4(2m2﹣4)>0,解得:﹣2<m<0或0<m<2,
∴m的取值范圍是(﹣2,0)∪(0,2)
(2)證明:設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,
要證直線MA,MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.只需證明k1+k2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l的方程為:y= x+m,則k1= ,k2= .
由 ,整理得:x2+2mx+2m2﹣4=0
∴x1+x2=﹣2m,x1x2=2m2﹣4,
而k1+k2= + = ,
其分子=( x1+m﹣1)(x2﹣2)+( x2+m﹣1)(x1﹣2)
=x1x2+(m﹣2)(x1+x2)﹣4(m﹣1)=2m2﹣4﹣2m(m﹣2)﹣4m+4=0,
∴k1+k2=0.
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形
【解析】(1)根據(jù)題意,將M點(diǎn)代入即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程,求得直線l的方程,代入橢圓方程,由△>0即可求得m的取值范圍;(2)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=0即可,根據(jù)直線的斜率公式及韋達(dá)定理即可求得答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的箱子里裝有5個(gè)完全相同的小球,球上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5.甲先從箱子中摸出一個(gè)小球,記下球上所標(biāo)數(shù)字后,將該小球放回箱子中搖勻后,乙再從該箱子中摸出一個(gè)小球.
(1)若甲、乙兩人誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝(數(shù)字相同為平局),求甲獲勝的概率;
(2)規(guī)定:兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6,則甲獲勝,否則乙獲勝,這樣規(guī)定公平嗎?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知c>0,且c≠1,設(shè)p:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減;q:函數(shù)f(x)=x2﹣2cx+1在( ,+∞)上為增函數(shù),若“p且q”為假,“p或q”為真,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,其左、右焦點(diǎn)為F1、F2 , 點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且|OP|= , = ,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,過點(diǎn)S(0,﹣ )的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題P:方程 表示雙曲線,命題q:點(diǎn)(2,a)在圓x2+(y﹣1)2=8的內(nèi)部.若pΛq為假命題,q也為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為評(píng)估新教改對(duì)教學(xué)的影響,挑選了水平相當(dāng)?shù)膬蓚(gè)平行班進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn).甲班采用創(chuàng)新教法,乙班仍采用傳統(tǒng)教法,一段時(shí)間后進(jìn)行水平測(cè)試,成績結(jié)果全部落在[60,100]區(qū)間內(nèi)(滿分100分),并繪制頻率分布直方圖如圖,兩個(gè)班人數(shù)均為60人,成績80分及以上為優(yōu)良.
(1)根據(jù)以上信息填好2×2聯(lián)表,并判斷出有多大的把握認(rèn)為學(xué)生
(2)成績優(yōu)良與班級(jí)有關(guān)?
(3)以班級(jí)分層抽樣,抽取成績優(yōu)良的5人參加座談,現(xiàn)從5人中隨機(jī)選3人來作書面發(fā)言,求發(fā)言人至少有2人來自甲班的概率.(以下臨界值及公式僅供參考)
P(k2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
k2= ,n=a+b+c+d.
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【題目】已知f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-2x2+4x+3.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)畫出f(x)的圖象,并指出f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=e2x+1﹣2mx﹣ m,其中m∈R,e為自然對(duì)數(shù)底數(shù).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若不等式f(x)≥n對(duì)任意x∈R都成立,求mn的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,且 .
(1)試求 的值;
(2)用定義證明函數(shù) 在 上單調(diào)遞增;
(3)設(shè)關(guān)于 的方程 的兩根為 ,試問是否存在實(shí)數(shù) ,使得不等式 對(duì)任意的 及 恒成立?若存在,求出 的取值范圍;若不存在說明理由.
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