Question

已知f（x）定義在區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù)，且滿足f（x•y）=f（x）+f（y），并且f(

1

3

)=1
（1）求f（1）
（2）求f(

1

9

)
（3）若f（x）+f（1-2x）＜2，求x的范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）（2）分別利用賦值法求f（1），f（

1

9

）的值；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性將f（x）+f（1-2x）＜2，進行轉(zhuǎn)化然后解不等式即可求x的取值范圍．

解答： 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
再令x=y=

1

3

，則f（

1

9

）=f（

1

3

）+f（

1

3

）=1+1=2，
（2）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x）+f（1-2x）=f[x（1-2x）]，
∵f（x）+f（1-2x）＜2，
∴f[x（1-2x）]＜f（

1

9

）
∵f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴

x＞0 1-2x＞0 x(1-2x)＞ 1 9

，
解得

1

6

＜x＜

1

3

∴x的取值范圍為（

1

6

，

1

3

）

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法．