Question

已知a_n=n²+n，b_n=（-1）^n-1，（n∈N^*），設(shè)c_n=

(2n+1)bn

an

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：T_2n＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由c_n=（-1）^n-1•

2n+1

n(n+1)

，得到c_2n-1+c_2n=

1

2n-1

-

1

2n+1

，由此利用裂項求和法能證明T_2n＜1．

解答： 證明：a_n=n²+n，b_n=（-1）^n-1，（n∈N^*），
∴c_n=

(2n+1)bn

an

=（-1）^n-1•

2n+1

n(n+1)

，
∴c_2n-1+c_2n=

4n-1

2n(2n-1)

-

4n+1

2n(2n+1)

=

(4n-1)(2n+1)-(4n+1)(2n-1)

2n(2n-1)(2n+1)

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴T_2n═（c₁+c₂）+（c₃+c₄）+…+（c_2n-1+c_2n）
=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

＜1．
∴T_2n＜1．

點評：本題考查考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．