Question

【題目】在如圖所示的多面體ABCDE中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，AE＝BE.

(1)若M是DE的中點(diǎn)，試在AC上找一點(diǎn)N，使得MN∥平面ABE，并給出證明；

(2)求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） .

【解析】

（1）根據(jù)線面平行性質(zhì)定理推得點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，再利用線面平行判定定理給予證明，（2）先取AB的中點(diǎn)F，再證明EF⊥平面ABCD，最后根據(jù)錐體體積公式公式求結(jié)果.

（1）連接BD，交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求，

證明如下：∵ABCD是正方形，∴N是BD的中點(diǎn)，又M是DE的中點(diǎn)，∴MN∥BE，∵BE平面ABE，MN平面ABE，∴MN∥平面ABE.

(2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，∵△ABE是等腰直角三角形，且AB＝2，

∴EF⊥AB，EF＝AB＝1，∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，

EF平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，即EF為四棱錐EABCD的高，

∴V四棱錐EABCD＝S正方形ABCD·EF＝×22×1＝.