Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，右焦點為F，右頂點A在圓F：（x-1）²+y²=γ²（γ＞0）上．
（Ⅰ）求橢圓C和圓F的方程；
（Ⅱ）已知過點A的直線l與橢圓C交于另一點B，與圓F交于另一點P．請判斷是否存在斜率不為0的直線l，使點P恰好為線段AB的中點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率為

1

2

，右焦點為F（1，0），求出幾何量，即可求橢圓C的方程，可得A的坐標，從而可求圓F的方程；
（Ⅱ）假設存在直線l滿足題意，則OP⊥AB，由點P是AB中點，可得|OB|=|OA|=2，再求出|OB|²=x₁²+y₁²=3+

x12

4

＜4，這與|OA|=|OB|矛盾，可得結論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得c=1，----------------------------------（1分）
又由題意可得

c

a

=

1

2

，
所以a=2，----------------------------------（2分）
所以b²=a²-c²=3，----------------------------------（3分）
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．---------------------------------（4分）
所以橢圓C的右頂點A（2，0），--------------------------------（5分）
代入圓F的方程，可得r²=1，
所以圓F的方程為：（x-1）²+y²=1．------------------------------（6分）
（Ⅱ）假設存在直線l滿足題意．
由（Ⅰ）可得OA是圓F的直徑，-----------------------------（7分）
所以OP⊥AB．------------------------------（8分）
由點P是AB中點，可得|OB|=|OA|=2．--------------------------------（9分）
設點B（x₁，y₁），則由題意可得

x12

4

+

y12

3

=1．--------------------------------（10分）
又因為直線l的斜率不為0，所以x12＜4，-------------------------------（11分）
所以|OB|²=x₁²+y₁²=3+

x12

4

＜4，-------------------------------（13分）
這與|OA|=|OB|矛盾，所以不存在滿足條件的直線l．--------------------------（14分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查圓的方程，考查圓的性質的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．