Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，橢圓C上一點(diǎn)到F₁和F₂的距離之和為4，焦距為2．
（1）求橢圓C的方程．
（2）若直線L被橢圓C所截得的線段的中點(diǎn)P（-1，1），求直線L的方程
（3）若直線y=kx+2與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時(shí)OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，且2a=4，2c=2，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線L與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線L被橢圓C所截得的線段的中點(diǎn)P（-1，1），得到x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2，利用點(diǎn)差法能求出直線L的方程．
（3）聯(lián)立

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+16kx-8=0，同由此利用韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能求出當(dāng)k=±

6

6

時(shí)，OA⊥OB．

解答： 解：（1）∵橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
∵橢圓C上一點(diǎn)到F₁和F₂的距離之和為4，焦距為2，
∴2a=4，2c=2，∴b=

4-1

=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)直線L與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線L被橢圓C所截得的線段的中點(diǎn)P（-1，1），
∴x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，得

3x12+4y12=12 3x22+4y22=12

，∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴-6（x₁-x₂）+8（y₁-y₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，
∴直線L的方程為y-1=-

3

4

(x+1)，
整理，得3x+4y-1=0．
（3）聯(lián)立

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

，
消去y，并整理，得（3+4k²）x²+16kx-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

16k

3+4k2

，x₁x₂=

-8

3+4k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

12-24k2

3+4k2

，
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=

-8

3+4k2

+

12-24k2

3+4k2

=

4-24k2

3+4k2

=0，
解得k=±

6

6

．
∴當(dāng)k=±

6

6

時(shí)，OA⊥OB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．