【題目】已知橢圓:過(guò)點(diǎn),且它的焦距是短軸長(zhǎng)的倍.
(1)求橢圓的方程.
(2)若,是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(,兩點(diǎn)不關(guān)于軸對(duì)稱),為坐標(biāo)原點(diǎn),,的斜率分別為,,問(wèn)是否存在非零常數(shù),使當(dāng)時(shí),的面積為定值?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)存在這樣的常數(shù),此時(shí).
【解析】
(1)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程,結(jié)合和列方程組,解方程組求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)直線的方程為和兩點(diǎn)的坐標(biāo),將兩點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,化簡(jiǎn)得到①.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫(xiě)出韋達(dá)定理,利用點(diǎn)到直線距離公式和弦長(zhǎng)公式求得三角形的面積的表達(dá)式,結(jié)合①解得和的值.
解:(1)因?yàn)闄E圓:過(guò)點(diǎn),
所以,
又因?yàn)樵摍E圓的焦距是短軸長(zhǎng)的倍,所以,從而.
聯(lián)立方程組,解得,所以.
(2)設(shè)存在這樣的常數(shù),使,的面積為定值.設(shè)直線的方程為,點(diǎn),點(diǎn),則由知,,所以.①
聯(lián)立方程組,消去得.
所以,
點(diǎn)到直線的距離,
的面積.④
將②③代入①得,
化簡(jiǎn)得,⑤
將⑤代入④得
,
要使上式為定值,只需,
即需,從而,此時(shí),,
所以存在這樣的常數(shù),此時(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)集合,或,對(duì)于任意,定義,對(duì)任意,定義,記為集合的元素個(gè)數(shù),求的值;
(2)在等差數(shù)列和等比數(shù)列中,,,是否存在正整數(shù),使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中,若存在,求出所有的,若不存在,說(shuō)明理由;
(3)已知當(dāng)時(shí),有,根據(jù)此信息,若對(duì)任意,都有,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)F在y軸上,開(kāi)口向上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知拋物線C過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某網(wǎng)站用“100分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取10名,以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉);若幸福度不低于95分,則稱該人的幸福度為“極幸福”.
(1)從這10人中隨機(jī)選取3人,記表示抽到“極幸福”的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)以這10人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“極幸福”的人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望和方差.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為響應(yīng)市政府提出的以新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換為主題的發(fā)展戰(zhàn)略,某公司花費(fèi)100萬(wàn)元成本購(gòu)買了1套新設(shè)備用于擴(kuò)大生產(chǎn),預(yù)計(jì)該設(shè)備每年收入100萬(wàn)元,第一年該設(shè)備的各種消耗成本為8萬(wàn)元,且從第二年開(kāi)始每年比上一年消耗成本增加8萬(wàn)元.
(1)求該設(shè)備使用x年的總利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與使用年數(shù)x(x∈N*)的函數(shù)關(guān)系式(總利潤(rùn)=總收入﹣總成本);
(2)這套設(shè)備使用多少年,可使年平均利潤(rùn)最大?并求出年平均利潤(rùn)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為.
(1)求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng):
(2)求展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,其中點(diǎn)在以為直徑的圓上,,,,平面平面.
(1)證明:平面.
(2)設(shè)點(diǎn)是線段(不含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)三棱錐的體積為1時(shí),求異面直線與所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求證:M為PB的中點(diǎn);
(II)求二面角B-PD-A的大。
(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,,點(diǎn)、分別在線段、上,且,其中,連接,延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),連接.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若時(shí),求二面角的正弦值;
(Ⅲ)若直線與平面所成角的正弦值為時(shí),求值.
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