【題目】已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，且它的焦距是短軸長(zhǎng)的倍.

（1）求橢圓的方程.

（2）若，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（，兩點(diǎn)不關(guān)于軸對(duì)稱），為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的斜率分別為，，問(wèn)是否存在非零常數(shù)，使當(dāng)時(shí)，的面積為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2）存在這樣的常數(shù)，此時(shí).

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合和列方程組，解方程組求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線的方程為和兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得到①.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用點(diǎn)到直線距離公式和弦長(zhǎng)公式求得三角形的面積的表達(dá)式，結(jié)合①解得和的值.

解：（1）因?yàn)闄E圓：過(guò)點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)樵摍E圓的焦距是短軸長(zhǎng)的倍，所以，從而.

聯(lián)立方程組，解得，所以.

（2）設(shè)存在這樣的常數(shù)，使，的面積為定值.設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)，則由知，，所以.①

聯(lián)立方程組，消去得.

所以，

點(diǎn)到直線的距離，

的面積.④

將②③代入①得，

化簡(jiǎn)得，⑤

將⑤代入④得

，

要使上式為定值，只需，

即需，從而，此時(shí)，，

所以存在這樣的常數(shù)，此時(shí).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（1）集合，或，對(duì)于任意，定義，對(duì)任意，定義，記為集合的元素個(gè)數(shù)，求的值；

（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）已知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)此信息，若對(duì)任意，都有，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，開(kāi)口向上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知拋物線C過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證： 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某網(wǎng)站用“100分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取10名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）；若幸福度不低于95分，則稱該人的幸福度為“極幸福”．

（1）從這10人中隨機(jī)選取3人，記表示抽到“極幸福”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）以這10人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記表示抽到“極幸福”的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為響應(yīng)市政府提出的以新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換為主題的發(fā)展戰(zhàn)略，某公司花費(fèi)100萬(wàn)元成本購(gòu)買了1套新設(shè)備用于擴(kuò)大生產(chǎn)，預(yù)計(jì)該設(shè)備每年收入100萬(wàn)元，第一年該設(shè)備的各種消耗成本為8萬(wàn)元，且從第二年開(kāi)始每年比上一年消耗成本增加8萬(wàn)元．

（1）求該設(shè)備使用x年的總利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與使用年數(shù)x（x∈N*）的函數(shù)關(guān)系式（總利潤(rùn)＝總收入﹣總成本）；

（2）這套設(shè)備使用多少年，可使年平均利潤(rùn)最大？并求出年平均利潤(rùn)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為.

（1）求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)：

（2）求展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，其中點(diǎn)在以為直徑的圓上，，，，平面平面.

（1）證明：平面.

（2）設(shè)點(diǎn)是線段（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐的體積為1時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PPD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求證：M為PB的中點(diǎn)；

（II）求二面角B-PD-A的大�。�

（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，點(diǎn)、分別在線段、上，且，其中，連接，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若時(shí)，求二面角的正弦值；

（Ⅲ）若直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求值．

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