Question

已知函數(shù)f（x）=4x²-4x+m，g（x）=2f（x）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若m=2，x∈[-1，t]，t＞-1．求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用二次函數(shù)的圖象特征，得到相應(yīng)的點(diǎn)的特征，即得到m的關(guān)系式，解不等式組，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）先用條件m=2，求出函數(shù)g（x）的解析式，再分類討論，求出函數(shù)g（x）的最小值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=4x²-4x+m，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象對(duì)稱軸為x=

1

2

，
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴

f(-1)≥0 f( 1 2 )＜0 f(1)≥0

，
∴0≤m＜1．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，1）．
（2）∵當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=4x²-4x+2，
∴g（x）=2f（x）=8x²-8x+4=8（x-

1

2

）²+2．
∵x∈[-1，t]，t＞-1，
∴當(dāng)t＜

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，t]單調(diào)遞減，
函數(shù)g（x）的最小值為：g（t）=8t²-8t+4，
∴當(dāng)t≥

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）圖象上拋物線，開口向上，頂點(diǎn)在區(qū)間[-1，t]內(nèi)，
∴函數(shù)g（x）的最小值為：g（

1

2

）=2．
∴函數(shù)g（x）的最小值[g(x)]min=

8t2-8t+4，-1＜t＜ 1 2 2，t≥ 1 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題有一定的計(jì)算量，難度適中，屬于中檔題．