【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，已知過(guò)軸上一點(diǎn)作一條直線：，交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)最大值為8.

（1）求橢圓方程；

（2）以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的方程為.過(guò)的中點(diǎn)作圓的切線，為切點(diǎn)，連接，證明：當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在短軸上（不包括短軸端點(diǎn)及原點(diǎn)）.

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用三角形的周長(zhǎng)的最大值結(jié)合橢圓的定義，求出a，利用離心率求解c，然后求出b，即可得到橢圓方程．

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合△＞0得m2＜4k2+2，求出C的坐標(biāo)，求出|NC|，|NE|，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出最大值，推出m的范圍．

解：（1）由題意得，

∴

∵，∴，∴，

∴所求橢圓方程為.

（2）設(shè)，聯(lián)立得，

由得（*），且，∴

∴

∵以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為，∴，

∴，整理得

∵，∴

令，

∴，∴

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)取得最大值，且，

∴，∴且，

∴點(diǎn)在短軸上（不包括短軸端點(diǎn)及原點(diǎn)）.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（且），定義域均為．

（1）若當(dāng)時(shí)，的最小值與的最小值的和為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)?/span>．

①若，求實(shí)數(shù)的值；

②設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)?/span>．若對(duì)于任意的，總能找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 函數(shù)的最小正周期為 B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

C. 函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 D. 是函數(shù)的一條對(duì)稱軸

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列說(shuō)法正確的有( )

(1)很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合;

(2)集合與集合是同一個(gè)集合;

(3) 這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素;

(4)任何集合至少有兩個(gè)子集.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的所有單調(diào)遞增區(qū)間的長(zhǎng)度為，所有單調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度為，證明：．（注：區(qū)間長(zhǎng)度指該區(qū)間在軸上所占位置的長(zhǎng)度，與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān)．）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】等差數(shù)列的定義可用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述為________,其中，其通項(xiàng)公式_________,__________=_________,等差數(shù)列中，若則________()

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)于任意的，都有且當(dāng)時(shí)，，若.

(1)求證：為奇函數(shù)；

(2)求證: 是上的減函數(shù)；

(3)求函數(shù)在區(qū)間[-2,4]上的值域.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在某項(xiàng)體能測(cè)試中，規(guī)定每名運(yùn)動(dòng)員必需參加且最多兩次，一旦第一次測(cè)試通過(guò)則不再參加第二次測(cè)試，否則將參加第二次測(cè)試.已知甲每次通過(guò)的概率為，乙每次通過(guò)的概率為，且甲乙每次是否通過(guò)相互獨(dú)立.

(Ⅰ)求甲乙至少有一人通過(guò)體能測(cè)試的概率；

(Ⅱ)記為甲乙兩人參加體能測(cè)試的次數(shù)和，求的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】是偶函數(shù)，

(1) 求的值；

(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案