Question

5．已知直線L：y=x+m與拋物線y²=8x交于A、B兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），
（1）若直線L過(guò)拋物線焦點(diǎn)，求線段|AB|的長(zhǎng)度；
（2）若OA⊥OB，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用弦長(zhǎng)公式可求；
（2）由于OA⊥OB，從而有x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理可得方程，從而求出m的值．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
m=-2，直線L：y=x-2與拋物線y²=8x聯(lián)立可得x²-12x+4=0，
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=4，
∴|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{144-16}$=16------------------------------------（6分）
（2）∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0------------------------------------（7分）
x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0-----------------------------------------（9分）
2m²+m（8-2m）+m²=0，m²+8m=0，m=0或m=-8，---------------------------------（11分）
經(jīng)檢驗(yàn)m=-8------------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理得運(yùn)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力．