Question

【題目】從1~2010中選出總和為1006779的1005個數，且這1005個數中任意兩數之和都不等于2011.

（1）證明: 為定值;

（2）當取最小值時，求 中所有小于1005的數之和。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）44253

【解析】

將{1,2,...,2010}分成1005組：

.

因中任兩數之和不等于2011，故各組中恰取一數.先在各組中取偶數，組成，其中.

又，

故必有一些偶數被換成同組的奇數.

設組的換數使的增量為，其中,k=1,2,3.則

.

在組中，若將2j換成2011-2j，則；

在組中，若將2012-2j換成2j-1，則

；

且

故

1 由式①知為定值，且

為定值.

2 由式②知，當且僅當取最小值時，取最小值.

首先，求{0,1,...,502}的子集I、J,使得

且

最小，其中，.

設，其中,1≤n≤m≤502.則

由4n-1<4n+1，取m=n.則由式①解得n=354.

下面證明：對任意滿足式①的其他子集，有

設

則

注意到，式③中左邊的每個數都小于右邊的每個數.由調整法易知

故I={1,2,...,354},J={354,355,...,502}.

從而,，當取最小值時，有

{2011-2j|j=149,150,...,502}∪

{2j-1|j=1,2,...,149}∪

{2012-2j|j=150,151,...,503}，

其中，所有小于1005的數之和為.