Question

已知函數(shù)f（x）=3^x-

1

3|x|

．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）判斷x＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)性；
（3）若3^tf（t）+mf（t）≥0對于t∈[

1

2

，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分x＞0與x＜0兩種情況討論解方程即可；
（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；
（3）先將原不等式進(jìn)行化簡，化簡后再對原式分離參數(shù)m，最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解．

解答： 解：（1）當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=3x-

1

3-x

=3x-3x=0，所以f（x）=2無解；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=3x-

1

3x

，令3x-

1

3x

=2得（3^x）²-2•3^x-1=0，解得3x=1±

2

（負(fù)值舍去），
故x=log3(1+

2

)．
（2）∵y=3^x在（0，+∞）上遞增，y=

1

3x

在（0，+∞）上遞減，所以f（x）=3x-

1

3x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）因?yàn)?span id="1111616" class="MathJye">t∈[

1

2

，1]，所以3t≥

3

，

1

3t

≤

1

3

，故3t-

1

3t

＞0．
由3^tf（2t）+mf（t）≥0得：3t(32t-

1

32t

)+m(3t-

1

3t

)≥0，
即3t(3t+

1

3t

)+m≥0，即m≥-3^2t-1，令g（t）=-3^2t-1，則g（t）在[

1

2

，1]上遞減，所以g（t）_max=-4．
則滿足題意的m的范圍是m≥-4．

點(diǎn)評：本題考查了利用基本初等函數(shù)判斷一些由基本初等函數(shù)相加減乘除構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性的方法還考查了利用單調(diào)性研究函數(shù)最值的方法．要注意化簡優(yōu)先的原則在解題中的作用．