【題目】已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為10，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作與軸垂直的直線，直線上存在、兩點(diǎn)滿足，求△面積的最小值；

（3）若與軸不垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交軸于定點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）；（2）9；（3）.

【解析】

（1）求出，，直接求出橢圓方程；

（2）設(shè)，，，由，所以，代入三角形面積公式，由基本不等式求出即可；

（3）設(shè)出直線為：，聯(lián)立解方程組，用，表示出點(diǎn)，，，由為定值，求出當(dāng)，求出的坐標(biāo)．

（1）設(shè)橢圓的方程為，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為10，所以，，

又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入橢圓方程，求得，

所以橢圓的方程為：；

（2）設(shè)，，，

由，所以，

，故面積的最小值為9；

（3）設(shè)直線的方程為：，則點(diǎn)，

聯(lián)立，消去得，

，，

所以，

則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，得，

則直線的方程為：，

令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，比值為定值，此時(shí)點(diǎn)，為，

故或．

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科技投入

2

4

6

8

10

12

收益

根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)曲線的周圍，據(jù)此他對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理，如下表：

其中，.

(1)（i）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（保留一位小數(shù)）；

（ii）根據(jù)所建立的回歸方程，若該企業(yè)想在下一年的收益達(dá)到2億，則科技投入的費(fèi)用至少要多少（其中）？

(2)乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在二次曲線的周圍，并計(jì)算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關(guān)指數(shù)，試比較甲、乙兩位員工所建立的模型，誰(shuí)的擬合效果更好.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，相關(guān)指數(shù)：.

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（1）求證：(n)；

（2）求證：(n)．

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