Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列函數(shù)：
①f（x）=x；      
②f（x）=e^x；
③f（x）=sinx；   
④f（x）=ln（x+1）．
其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)有（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，可以得到函數(shù)的定義域和值域相同．

解答： 解①若f（x）=x函數(shù)單調(diào)遞增，若滿足條件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

a=a b=b

，所以對任意的求解[a，b]都是穩(wěn)定區(qū)間為所以①正確．
②若f（x）=e^x函數(shù)單調(diào)遞增，若滿足條件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

ea=a eb=b

，即a，b是方程e^x=x的兩個根，作出函數(shù)y=e^x和y=x的圖象，由圖象可知兩個圖象沒有公共點，所以②不存在穩(wěn)定區(qū)間．
③由正弦函數(shù)的性質(zhì)我們易得，函數(shù)f（x）=sinx在[-

π

2

，

π

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，若函數(shù)在[-

π

2

，

π

2

]上存在“好區(qū)間”[a，b]，則必有sina=a，sinb=b．
即方程sinx=x有兩個根，令g（x）=sinx-x，g′（x）=cosx-1≤0在[-

π

2

，

π

2

]上恒成立，
所以函數(shù)g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上為減函數(shù)，則函數(shù)g（x）=sinx-x在[-

π

2

，

π

2

]上至多有一個零點，
即方程sinx=x在[-

π

2

，

π

2

]上不可能有兩個解，
又因為f（x）的值域為[-1，1]，所以當(dāng)x＜-

π

2

或x＞

π

2

時，
方程sinx=x無解．
所以函數(shù)f（x）=sinx沒有“穩(wěn)定區(qū)間”；所以③錯誤．
④若f（x）函數(shù)單調(diào)遞增，若滿足條件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

ln(a+1)=a ln(b+1)=b

，即a，b是x=ln（1+x）的兩個根，
設(shè)g（x）=x-ln（1+x），則g′（x）=1-

1

1+x

=

x

1+x

，由g′（x）=0得x=0，則函數(shù)在x=0時，函數(shù)g（x）取得極大值g（0）=0，
則方程x=ln（1+x）只有一個根x=0，則函數(shù)g（x）不存在穩(wěn)定區(qū)間．故④錯誤，
故選A．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，在說明一個函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”時，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．