Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

1

2

n•a_n+1，n∈N^*，其中a₁=1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=

1

3an+1-2

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1，得S1=a1=

1

2

a2，由a₁=1，得a₂=2．當(dāng)n≥2時(shí)，推導(dǎo)出

an+1

an

=

n+1

n

，由此利用累乘法能求出a_n=n．
（2）由b_n=

1

3an+1-2

=

1

3n+1-2

=

1

3•3n-2

=

1

2•3n+3n-2

＜

1

2•3n

，利用放縮法和不等式的性質(zhì)能證明T_n＜

1

4

．

解答： （1）解：∵S_n=

1

2

n•a_n+1，n∈N^*，
∴令n=1，得S1=a1=

1

2

a2，
由已知a₁=1，得a₂=2．…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

nan+1-

1

2

(n-1)an，
即

1

2

(n+1)an=

1

2

nan+1，
即得：

an+1

an

=

n+1

n

，n≥2，…（4分）
∴

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a3

a2

=

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

3

2

，n≥3，
即

an

a2

=

n

2

，n≥3，…（6分）
又∵a₂=2，∴a_n=n，
又∵a₁=1，∴a_n=n，n∈N^*．…（7分）
（2）證明：∵a_n=n，
∴b_n=

1

3an+1-2

=

1

3n+1-2

=

1

3•3n-2

=

1

2•3n+3n-2

＜

1

2•3n

，…（11分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
＜

1

2×3

+

1

2×32

+…+

1

2×3n

=

1

2

（

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）
=

1

2

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

4

(1-

1

3n

)＜

1

4

，
∴T_n＜

1

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累乘法和放縮法的合理運(yùn)用．