Question

如圖，DC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=

1

2

BC=k•CD，點E在BD上，且BE=3ED．
（Ⅰ）求證：AE⊥BC；
（Ⅱ）若二面角B-AE-C的平面角的余弦值為-

5

5

，求k的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以F為原點，F(xiàn)A為x軸，F(xiàn)C為y軸，F(xiàn)E為z軸，建立空間直角坐標系，由此能證明AE⊥BC．
（2）分別求出平面ABE的法向量和平面ACE的法向量，由利用根據(jù)二面角B-AE-C的平面角的余弦值為-

5

5

，能求出k=

6

3

．

解答： （1）證明：過E作EF⊥平面ABC，交BC于F，
以F為原點，F(xiàn)A為x軸，F(xiàn)C為y軸，F(xiàn)E為z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（

3

2

，0，0），B（0，-

3

2

，0），C（0，

1

2

，0），E（0，0，

3

4k

），

AE

=（-

3

2

，0，

3

4k

），

BC

=（0，2，0），
∵

AE

•

BC

=0，
∴AE⊥BC．
（2）解：

AE

=（-

3

2

，0，

3

4k

），

AC

=（-

3

2

，

1

2

，0），

AB

=（-

3

2

，-

3

2

，0），
設(shè)平面ABE的法向量為

n

=（x，y，z），
則

AB • n =- 3 2 x- 3 2 y=0 AE • n =- 3 2 x+ 3 4k z=0

，
令z=1，得

n

=（

3

2k

，-

1

2k

，1）．
設(shè)平面ACE的法向量為

m

=（a，b，c），
則

AC • m =- 3 2 a+ 1 2 b=0 AE • m =- 3 2 a+ 3 4k c=0

，
令c=1，得

m

=（

3

2k

，

3

2k

，1）．
∵二面角B-AE-C的平面角的余弦值為-

5

5

，
∴

5

5

=

1

3 k2 +1 • 1 k2 +1

，解得k=

6

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．