Question

已知P是曲線y=

2x

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓（x-3）²+y²=1 的切線，切點(diǎn)分別為M，N，當(dāng)|MN|的值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，利用等面積可得|MN|=2|ME|=

2|PM||O1M|

|PO1|

=2

1- 1 |PO1|2

，所以當(dāng)|PO₁|最小時(shí)，|MN|取最小值，故可求．

解答： 解：設(shè)圓心為O₁（3，0），PO₁與MN交于E，則|PO₁|²=|PM|²+1，
由等面積可知：|MN|=2|ME|=

2|PM||O1M|

|PO1|

=2

1- 1 |PO1|2

∴當(dāng)|PO₁|最小時(shí)，|MN|取最小值，|PO₁|=

(x-3)2+y2

=

(x-2)2+5

∴當(dāng)x=2時(shí)，|PO₁|有最小值

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．
故答案為：（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查圓與拋物線的綜合，考查距離最小值的求解，解題的關(guān)鍵是利用等面積可得|MN|=2|ME|=

2|PM||O1M|

|PO1|

=2

1- 1 |PO1|2

．